新课程教学需要让学生先行，教师断后
——一节高三复习课的教学实录及感悟
缪荷芳（杭州第九中学）
高三数学课，以复习课为主，为了达到复习效果，突出重点，攻克难点，加深学生对数学知识的理解，渗透数学思想，提高学生的思维能力，培养学生的创新意识和探究意识，调动学生学习的积极性，体现新课程中自主、合作、创新的基本精神。当代教师在课堂上需要改变原有的教学模式，为了达到这个目的，笔者作了多方尝试，以下是笔者亲身经历的一节课的课例，具体如下：
1课例实录
1.1复习引入
教师：（幻灯片）回忆：确定一条直线需要几个条件？哪几个？
学生七嘴八舌，教师根据学生所说整理出其中的要点，并板书：
接着笔者给出了这节课的问题：
1.2 新课讲解
（2010年安徽高考文17题改编）已知抛物线C对称轴为x轴，且过点A(4,4)，F为其焦点，E为点A在x轴上的射影.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求∠FAE的角平分线所在的直线l的方程. （请至少用2种方法求解）
让学生在讲义上自己完成
笔者在巡视过程中叫了2位同学到黑板上各板演一种解法，其余同学不受影响继续考虑.
板演同学给出了2种解法：
学生1： 如图2所示利用角平分线上点到角的两边距离相等这一性质求解.
设∠FAE的角平分线为L，L与x轴交于点G(x0，0)，
则|GE|=4-x0（1<x0<4），直线AF所在的直线方程为
.
则点G到直线AF的距离为
，
则由角平分线的性质可知|BE|=4-x0=
解得：x0=
则所求直线的方程为3x-y-8=0.
学生2： 如图3所示利用两角和的正切公式求解.
设∠FAE=2q，角平分线与x轴交于点G，设GE=x，
则
，
解得
=
，则x=
，
则由两点式得所求直线的方程为3x-y-8=0.
笔者：此解法是否可以优化？
学生：可以
学生3： 如图3所示
设∠FAE=2q，则，
解得，所求直线的斜率为3，
则由点斜式得所求直线的方程为3x-y-8=0.
笔者：是否还有不同解法. 此时下面同学都有各自的解法，争先恐后要发表自己的见解.
学生4：如图4所示利用向量的夹角求解
设G(x0，0)
=（-3，-4）
=（0，-4）
=（x0-4，-4）
则由cos∠FAG=cos∠EAG得
代入解得：x0=
则所求直线的方程为3x-y-8=0.
学生5：如图5所示利用角平分线的性质求解
因为
所以FG=
EG，同样也可解得x0=
所以所求直线的方程为3x-y-8=0.
学生6：如图6所示利用角平分线的性质求解
延长AE至H，使得AH=5，则H（4，-1），则由角平分线的性质可知FH的中点（
，
）在所求直线上，则由两点式得所求直线的方程为3x-y-8=0.
也可利用FH与平分线垂直直接得斜率求得.
学生7：如图7所示利用三角形的内心求解
由于三角形AEF是直角三角形，求得直角三角形AEF的内切圆半径为1，则内心I的坐标为（3，1），由两点式求得所求直线的方程为3x-y-8=0.
笔者环顾四周，发现已经没有同学还有其他解法.
笔者提示：下面再看看能不能将前面解法进行优化，就像刚才黑板上解答2一样. 看解法4. 主要是拿点G，那能否考虑拿直线的方向呢？大家考虑一下.
学生8：能，只需将改设直线AG的方向向量为
=（1，k）即可，其它解法一样可求得k的值，从而知道直线方程.
笔者：此题所求的是直线方程，又已知直线上一个点，那再探求另一个点或直线的方向即可确定直线，上面我们已经得到好几种点的情况了，再看看从方向的角度去考虑能不能处理，比如解法2与刚才的解法都是求方向的，在看看还有没有其它方法（从方向的角度）.
环顾片刻，学生没有反应.
笔者：提示一下：要知道直线AG的方向向量，除了用刚才的方法之外，我们还可以用向量的线性运算来得到，比如说两个向量相加. 边说边在图上提示得到如图8.
学生恍然大悟：是边上两个向量相加得到.
笔者：又由题意可知这个四边形是什么四边形？（边讲边在图上画出图8中的小圆圈提示）
笔者通过引导，给出了图示9. 同时学生也得到了以下解法：
学生9：如图9所示
设
，
，
则所求直线的方向向量
，
所以所求直线的斜率k=3，
则所求直线的方程为3x-y-8=0.
1.3 课堂小结
笔者根据学生的回答理出解决上述问题的基本思路，特别强调了最后的向量法，并请每位同学掌握.
2课例评说
教师时间控制非常到位，讲解完后剩下5分钟进行课堂小结，不错；学生活动的时间充分，在讲解过程中能体现新课程的一个特点——向量的工具性；能充分利用多媒体设备，特别是电子白板的利用，使上课痕迹得到保存，便于学生课后查阅；但学生的活动还可以更完善(见感悟).
3感悟
让学生先行，教师断后，构建有效课堂
3.1 让学生要充分发挥主体作用
在新课程教学理念要求充分发挥学生的主体作用，作课堂的主人，这就要让学生多思多想、多做多练、多交流，同时也给教师的能力提出了更高的要求，笔者认为，要充分发挥学生的主体作用，主要从以下几个方面考虑：
（1）例题要少而精，要有代表性. 像课例中的一题多解课，一题足矣.
（2）提倡先做，后讲，让学生有充分的时间思考，动笔，让学生形成自己的思想，自己的思路，学会放手. 如在课例中，笔者通过让学生先做，然后让学生说、写，使学生进行充分的思考，但笔者在具体的处理上还有赶的感觉，还没有做到真正放手，各种解法如果能让学生自己上来讲解，或者动用投影仪让学生上台讲解，效果可能会更好.
（3）回归课本，充分体现数学思想. 高考的很多问题都来自于课本，在高考的最后复习中，回归课本非常重要.
3.2 教师也要发挥主导作用
新课程要求充分体现学生的主体作用，同时也强调教师的主导作用，这就给教师提出了更高的要求. 在这样的要求下，课堂变成了相对开放的课堂，可能会出现意想不到的结果，无论出现怎样的结果，都需要教师断后，做出理性的决定与思考，笔者认为，教师要发挥好主导作用，主要从以下几个方面来考虑：
（1）对于学生出现的各种错误，教师要及时地进行纠正. 比如课例中笔者通过巡视及时纠正了学生的个性错误，对于共性的错误，笔者学生讲解后及时进行纠正，收到了良好的效果.
（2）对于在自主探究以后学生得出的各种结论，教师要及时地用科学的语言加以总结、提炼. 象课例中的各种解法，学生能给出思路，但写法还不够完善，教师及时给出的示范非常重要.
（3）对于课堂小结，有些简单的可以让学生自己解决，但还有教抽象、专业的，由于学生能力有限，暂时是得不出的，这就需要教师进行科学的整理与正确的示范，这些过程必须由教师完成.
总之，在新课程教育理念下的课堂教学，已不再是简单的组织教学、讲授知识、巩固知识、运用知识和检查知识来展开，学生的学要求要强调合作学习、探究学习，要把所有学生的学习都提高到一个自主学习的高度。这就需要教师寻求更符合新课程理念的教学方式教学，怎样构建有效课堂，笔者一直在思考，也一直在摸索，上面这个课例是笔者的初步尝试，主要目的想让学生在课堂上成为真正的主人，真正能体现学生为主体，教师为主导的理念. 能真正做到“自主、合作、创新”，前方的路还很艰辛，有待于我们共同的探索与研究.
参考文献：缪荷芳.一节高三“一题多解”课的听课感悟.中学数学教学参考（上旬），2012（1~2）：24——26.